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----  一道抽代题  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=64&rootid=&id=28589)

--  作者：Logician
--  发布时间：3/13/2006 9:34:00 PM

--  一道抽代题
设G是一个群。对任意整数k，记G^k={g^k | g属于G}。
证明或反驳：G是循环群 <==> 对G的每一个子群H，都存在整数k，使得H=G^k。
--  作者：gzkepfv
--  发布时间：3/29/2006 1:56:00 PM

--  
不会
--  作者：xiaoruliang
--  发布时间：3/29/2006 9:52:00 PM

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设G是一个群。对任意整数k，记G^k={g^k | g属于G}。
证明或反驳：G是循环群 <==> 对G的每一个子群H，都存在整数k，使得H=G^k。
proof:(=>)G is cycle group. let g be a primitive element of G
For H  a subgroup of G,each element of H can be written to form  g^s, let m=Min{s|g^s in H,s is positive integer}, n be the number of elements in H......
--  作者：Logician
--  发布时间：3/29/2006 10:20:00 PM

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嗯。这个方向是好证。另一个方向呢？：）
--  作者：owlsharpe
--  发布时间：3/30/2006 11:37:00 PM

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proof:(<=)For any element s in G,there must exists a H which is subgroup G such that
s=g^k,where g is primitive element of H. Let r=Min{t|g^k is any a primitive element for every H},so s=(g^r)^u (k=r*u),for s is of any element of G,hencr G is a cycle group
--  作者：owlsharpe
--  发布时间：3/30/2006 11:40:00 PM

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I think that it can use 反证
--  作者：Logician
--  发布时间：3/30/2006 11:47:00 PM

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以下是引用owlsharpe在2006-3-30 23:37:00的发言：
proof:(<=)For any element s in G,there must exists a H which is subgroup G such that
s=g^k,where g is primitive element of H. Let r=Min{t|g^k is any a primitive element for every H},so s=(g^r)^u (k=r*u),for s is of any element of G,hencr G is a cycle group

这里面有几步没看明白。

1、你说的"g is primitive element of H"是说H是由g生成的，即H=<g>是吗？
2、"Let r=Min{t|g^k is any a primitive element for every H}"，这里的t是哪来的？你是想说k吧？这里你求的r到底是什么？还有这个g是唯一确定的吗？
3、你开始是先设s再设g，这样的g可能会因s的不同而不同，你最后却把g当作一个确定的元素来用，这个确定的g是怎么得到的？

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